Baricentro

En geometría, el baricentro o centroide de una superficie contenida en una figura geométrica plana, es un punto tal, que cualquier recta que pasa por él, divide a dicha superficie en dos partes de igual momento respecto a dicha recta.

En física, el baricentro de un cuerpo material coincide con el centro de masas del mismo cuando el cuerpo es homogéneo (densidad uniforme) o cuando la distribución de materia en el cuerpo tiene ciertas propiedades, tales como la simetría.

Sean A₁,... A_n n puntos, y m₁,... m_n n, números (m como masa ). Entonces el baricentro de los ( A_i, m_i ) es el punto G definido como sigue:

$\overrightarrow{OG\,} = \frac{\sum{m_i\overrightarrow{O\!A_i}}}{\sum{m_i}} = \frac{m_1\overrightarrow{O\!A_1} + ...+m_n\overrightarrow{O\!A_n}} {m_1+...+m_n}, \quad \mbox{con} \quad \sum{m_i} \ne 0$

Esta definición depende del punto O, que puede ser cualquiera. Si se toma el origen del plano o del espacio, se obtiene las coordenadas del baricentro, como promedio ponderado por los mi, de las coordenadas de los puntos Ai:

$x_G=\frac{\sum{m_ix_i}}{\sum{m_i}}=\frac{m_1x_1+...+m_nx_n}{m_1+...+m_n}$

La definición anterior no equivale a la fórmula siguiente, mucho menos práctica para el cálculo vectorial, pues prescinde de las fracciones (se obtiene tomando O = G):

$\sum_{i=1}^n{m_i\overrightarrow{G\!A_i}} = \vec 0 \quad \mbox{o bien} \quad m_1\overrightarrow{G\!A_1} + ...+m_n\overrightarrow{G\!A_n} = \vec 0$

Un isobaricentro (iso: mismo) es un baricentro con todas las masas iguales entre sí; es usual en tal caso tomarlas iguales a 1. Si no se precisan las masas, el baricentro es por defecto el isobaricentro.

El baricentro coincide con el concepto físico de centro de masa de un cuerpo material en tanto que el cuerpo sea homogéneo.

Baricentros de algunas figuras geométricas

• El baricentro de {A, B} se encuentra en centro [A;B].

• El baricentro de un triángulo de vértices {A, B, C} se encuentra en el punto en el que se intersecan las tres medianas del triángulo. En ese mismo punto se encuentra también el baricentro de la superficie del triángulo ABC.

• El baricentro de cuatro puntos {A, B, C, D} del espacio es el centro de masa del tetraedro, suponiéndole una densidad volúmica uniforme. Corresponde al punto donde se cortan los segmentos que unen cada vértice con el isobaricentro de la cara opuesta.

Se puede generalizar lo anterior en cualquier dimensión.

La coincidencia del baricentro y el centro de masa permite localizar el primero de una forma sencilla. Si tomamos una superficie recortada en una cartulina y la sujetamos verticalmente desde cualquiera de sus puntos, girará hasta que el centro de gravedad (baricentro) se sitúe justamente en la vertical del punto de sujeción; marcando dicha vertical sobre la cartulina y repitiendo el proceso sujetando desde un segundo punto, encontraremos el baricentro en el punto de intersección.

Propiedades topológicas

El baricentro G de (A, a) y (B, b) con a y b cualesquiera, está ubicado en la recta (AB). Si a y b son ambos positivos, G pertenece al segmento [A,B]. En este caso los coeficientes a y b se pueden leer en el gráfico. Por ejemplo:

$\overrightarrow{AG\,} = {5 \over 7}\, \overrightarrow{GB\,} \quad \Leftrightarrow \quad 7\, \overrightarrow{AG\,} = 5\, \overrightarrow{GB\,} \quad \Leftrightarrow \quad 7\, \overrightarrow{GA\,} + 5\, \overrightarrow{GB\,} = \vec 0$

Y por lo tanto G = bar { (A, 7), (B, 5) }. Basta pues con permutar las longitudes del gráfico para obtener las masas de los puntos.

El baricentro G de tres puntos del espacio (A, a), (B, b) y (C, c) con a, b y c cualesquiera está ubicado en el plano (ABC). Si son todos positivos, G pertenece al triángulo ABC. Por supuesto, estas propiedades se generalizan a todas las dimensiones.

Propiedades algebraicas

Baricentro de un cuarto de Luna.

• Homogeneidad: no cambia el baricentro si se multiplica todas las masas por un mismo factor k ≠ 0.

formalmente: bar { (A₁, m₁), ..., (A_n, m_n) } = bar { (A₁, km₁), ..., (A_n, km_n) }.

• Asociatividad: el baricentro se puede calcular reagrupando puntos, es decir introduciendo baricentros parciales.

Por ejemplo, si D = bar {(A, a), (B, b)} (con a + b ≠ 0) entonces bar {(A, a), (B, b), (C, c)} = bar {(D,a + b), (C, c)} (a + b + c ≠ 0)

Ejemplo de demostración: Consideremos de nuevo el centro de masa de un triángulo ABC. Llamemos I el centro del segmento [B,C]. Entonces I = bar { (B, 1), (C, 1)}. Luego G = bar {(A, 1), (B, 1), (C, 1)} = bar {(A, 1), (I, 2)}, lo que significa que G está en el segmento [A,I], a un tercio del camino a partir de I.

El baricentro se puede definir en las matemáticas con coeficientes negativos. Como no existen masas negativas, ¿ qué significado físico se puede atribuir a estos cálculos ? He aquí un ejemplo muy sencillo: en una hoja de cartón, recortemos una medialuna como lo muestra la figura que sigue, constituido de un círculo en el cual hemos quitado otro círculo de radio dos veces menor. Nos preguntamos cual es el centro de masa del creciente.

El cálculo resulta muy simplificado si consideramos la medialuna como una yuxtaposición de dos discos, uno grande con masa positiva, y el otro, pequeño, con masa negativa. Las masas son proporcionales a las áreas (densidad uniforme), lo que da una masa de 4 para el primer disco, y de -1 para el segundo. Entonces G = bar {(A, -1), (B, 4)}.

Cálculo geométrico del baricentro

El cálculo geométrico (con regla y compás) del baricentro de una forma rápida de un polígono (regular o irregular), se puede realizar de la siguiente forma:

Si tenemos un polígono de n vértices.

• Descomponer el polígono en triángulos y cuadriláteros disjuntos (que no tengan vértices en común).
• Calcular los baricentros de estos triángulos y cuadriláteros, y formar el polígono correspondiente.
• Volver al primer paso.

Se puede probar que este algoritmo tiene orden logarítmico.

Véase también

• Centroide
• Centro de gravedad
• Centro de masas
• Teorema del centroide de Pappus